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時間：2020年04月28日
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物理學：π會出現(xiàn)在與圓無關(guān)的場合嗎?
我個人十分偏愛π這個數(shù)學符號，對于這點，我絲毫不隱瞞。連一個數(shù)學符號也喜歡?有什么特殊原因嗎?我們來做一件有趣的事情，請你拿出計算器，把π這個值做平方，可以用計算器本身自帶的π或者也可以取3.1415，或者任意一個計算器位數(shù)容得下的值。
計算完成了嗎?有沒有覺得這個值看起來很眼熟——π的平方是9.869，看起來正好和牛頓力學里講的地球表面重力場內(nèi)每千克物體所受到的地心引力值g很接近，這下你發(fā)現(xiàn)什么了嗎?
且慢，到底你說的重力場是什么意思?由地心引力引起的9.8，難道單位不是m/s2嗎?說的沒錯。很多人是以這樣一種方式來認識它的，但它所謂的這個“名字”其實并不那么合適。我們來觀察一本簡簡單單放在圓桌面上的書，書放在桌面上是靜止的，對嗎?這說明它的動量改變?yōu)?，而動量定理認為物體所受的合外力等于動量的改變值與時間之比。所以書所受到的合外力為0，只有兩個大小相同、方向相反的力作用在這本書上：向下的地心引力與桌子向上的支持力。
因此，用這個單位m/s2地心引力的大小是多少?一般認為地心引力就等于書的質(zhì)量與g的乘積。在地球表面，這樣計算是成立的。但何謂g?假如你的回答是：g是重力引起的加速度的值，就會產(chǎn)生一個問題，書在這個時候并沒有加速運動，對吧?
現(xiàn)在，如果你讓書自由落體，那么作用在書上唯一的力就是地心引力。在這種情況下，它以9.8m/s2的加速度向下加速。但做自由落體運動只是物體發(fā)生的一種非常特殊的狀態(tài)，這種情況并不能涵蓋物體的其他狀態(tài)，故不宜把g稱為是重力引起的加速度，而應該稱之為引力場的強度。
那么g的單位也應該隨之變化吧?如果g是引力場強度，那么它的單位應該是單位質(zhì)量上所受到力的大小，可以把它類比為電場里單位庫倫所受的力的大小。把g稱為重力場并不只是物理叫法上的正本清源，它還能幫助初學物理的學生理解“場”的概念，當有這個重力場的概念作為鋪墊，以后學習到電場，理解起來就不會很費力。
言歸正傳，回到π的平方。也許你會認為π2的值和g相近只不過是世界上萬千巧合里的一樁而已。然而，兩者數(shù)值上的接近實際并非湊巧。但如果這件事不是巧合，那又為什么π的平方并不是完全和g相等?這是因為g本身也不是一個確值，它在地球表面的值是由很多因素決定的。首先，g是個近似值，是我們在地球表面測得的，由于受到地球自轉(zhuǎn)的影響，它把參考系的加速度也考慮在內(nèi)了，離赤道越近，g的值就越小。
另外一個影響g的因素來源于地球表面并不統(tǒng)一的地理條件。在一個由密度較大的巖石構(gòu)成的區(qū)域，g的值會增加，其值隨著地理區(qū)域的不同而發(fā)生變化，并沒有一個統(tǒng)一的定值。
關(guān)于g，比前面還要有趣的來了：為什么兩個看似毫不相關(guān)的π和g是有聯(lián)系的?這個和長度單位“米”也有關(guān)系。具體闡述這個問題前，我們先來認識一下秒擺。秒擺是一種鐘擺，重物從一頭運動到另外一頭耗時正好是1s(或周期為2s)。
你肯定見過秒擺，家里祖父的鐘擺就是一個秒擺(周期為2s)。但從技術(shù)上來講，祖父的鐘擺并不是嚴格意義上的一個秒擺。秒擺一端用一根質(zhì)量極輕的細線拴上一個質(zhì)點(線可以在你家附近的五金店購買到)。而祖父的秒擺則完全不同，它有一根硬棒作為來回擺動的工具，棒有質(zhì)心，它和秒擺的質(zhì)心不一樣。測量一下后者鐘擺的長度，你會發(fā)現(xiàn)它的長度大致為1m。而真正意義上的一個秒擺的長度實際就是1m。當然如果你和你的朋友在地球上不同的區(qū)域各自制作一個秒擺，用到線長度可能稍有不同。
去試一下，找來一顆質(zhì)量較小的物體比如堅果，或者一顆金屬球。金屬球的效果會非常好，因為它的重力遠遠大于空氣的阻力以致于后者可以被忽略?，F(xiàn)在，令金屬球質(zhì)心與支點的一端之間的距離為一米，并讓它以小角度擺動(大約10°)。你可以用視頻記錄下來或者用秒表來測時間。不管怎么測，小球從一邊擺到另一邊，兩種方式測得的時間都應為1s。
在此，我不加以推導直接給出小角度擺動的秒擺周期公式，但要從實驗角度得出這個結(jié)果并不是特別困難：
如果你希望周期達到2s，你可以通過公式自己調(diào)整線的長度。此時線的長度L正好可以由g和π2來表示。更近一步，如果長度如秒擺一樣取1m，那么得出的結(jié)果g的值為π2，約等于9.8m/s2。等一下，剛才不是說g的單位N/kg嗎?好了，現(xiàn)在通過運算你該明白了為什么說這兩個單位是等價了吧?
但是為什么π會出現(xiàn)在單擺的周期公式里?這個問題問得好。這是因為單擺的路線和圓形一樣嗎?不對。在彈簧下端掛一重物，用手拉一下，重物就以原來靜止的位置為中心上下做往復運動，這同樣也是簡諧振動，它的周期公式和小角度的單擺周期公式在形式上一樣。那么到底為什么π在這個公式里?我認為最佳答案是描述簡諧運動需要用到正弦與余弦函數(shù)，因為這個緣故，周期公式里才有了π。
很多表面看起來毫不相關(guān)的事物原來有著我們意想不到的聯(lián)系。g和π就是這樣一種情況，當然，有時候在其他沒有圓的場合π依舊會出現(xiàn)。
來源：極客物理學 : 地球上最有趣的問題和最出人意料的答案 作者：[美] 瑞特·阿萊恩
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